بررسی تعمیم هایی از فرمول مجموع اویلر-مکلورن و کاربردهای آن

‏فرمول اویلر-مکلورن توسط اویلر‏ و مکلورن‎‏ حدود 268 سال پیش در اوایل سال ‎1735‏ به طور مستقل کشف شد، این فرمول یک رابطه ی قوی بین انتگرال ها و مجموع فراهم می‏ کند. این رابطه می تواند برای تقریب زدن انتگرال ها توسط جمع های متناهی استفاده شود‏، یا برعکس می توان برای محاسبه ی مجموع های متناهی و سری های نامتناهی از انتگرال ها و حساب دیفرانسیل و انتگرال استفاده کرد.‎ ‏بنابراین این فرمول یک تناظر بین مجموع ها و انتگرال های معین فراهم می کند. اویلر این فرمول را برای محاسبه ی سری های نامتناهی که دارای همگرایی کند می باشند‏، استفاده کرد‏، در حالی که مکلورن این فرمول را برای تخمین زدن مقدار انتگرال ها استفاده کرد. فرمول مجموع اویلر-مکلورن دارای ‏تعمیم ها و بسط های بسیاری می با‎‏شد.‎‎‎ در این پایان نامه چند نوع از تعمیم های فرمول مجموع او‎‏یلر-مکلورن و کاربردهای آنها مورد مطالعه و بررسی قرار خواهد گرفت‎.‎ ‎ در کار پیشگامانه ‎‎‎‏هوگ ‏و همکارانش ‎‎‎‎‏ در سال 1973 یک تعمیم از فرمول ‏مجموع اویلر-مکلورن بر مبنای درونیابی قطعه به قطعه لاگرانژ ساخته شده است. ‏ آنها تعمیم ارائه شده را برای تقریب زدن انتگرال گیری حاصل ضرب در حالتی که یکی از توابع زیر انتگرال هموار و دیگری تکین یا هر دو هموار باشند‏، استفاده کرده اند. سپس از این روش انتگرال گیری عددی برای حل عددی معادلات انتگرالی فردهولم نوع دوم استفاده نموده اند. ‏ما ‎‎‏ و همکاران‎‎‎‎‎ ‎‏ در سال 1996 و ‎آلپرت ‎‎‏ در سال 1999 طرح های مرتبه بالایی برای انتگرال گیری حاصل ضرب ‎با استفاده از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن توسعه داده اند. سایاس در سال 1998 یک تعمیم از فرمول اویلر-مکلورن روی مثلث ها داد و وجود یک بسط مجانبی خطا را برای فرمول انتگرال گیری مرکب روی مثلث ها ثابت کرد. نتایج او مبتنی بر دستکاری ساده مشتقات توابع دو متغیره نسبت به نگاشت‎ های آفین ‎‏و خاصیت های اساسی فضاهای سوبولوف می باشد. ‏ ‎‎ ‎‎ گرزگورز ‎ltrfootnote{ grzegorz rza ‎dkow‎ski}‎‏ و همکاران ‎‎cite{ rzadkowski3}‎‎‏ در سال 2008 یک تعمیم از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی معرفی و از آن برای محاسبه عددی انتگرال های فرمی-دیراک استفاده می کنند. گرزگورز‏ در سال 2009 از تعمیم فرمول مجموع اویلر-مکلورن با افراز بازه انتگرال گیری به زیر بازه های نابرابر برای تقریب انتگرال های تکین استفاده می کند. گرزگورز در این مقاله حالت خاصی از فرمول مجموع اویلر-مکلورن مبتنی بر توابع برنولی را برای تقریب زدن‏، استفاده کرده است. این روش می تواند به عنوان یک تعمیم مستقیم از روش ذوزنقه ای در نظر گرفته شود.